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Le Nombre d'Or.

Le cloître de Villard de Honnecourt. (Voir aussi la partie consacrée aux rectangles dynamiques.)

Manuscrit de Villard de Honnecourt - folio 39. (Entre 1225 et 1250)

La construction de Villard de Honnecourt au XIIIᵉ siècle met en évidence le nombre √2, qui est approximativement égal à 1,41421356 …

La problématique réside dans la conception d'un cloître dont la superficie de la galerie soit équivalente au double de celle du jardin.

À chaque nouvel ajout de carré, l'aire est réduite de moitié et la longueur du côté est divisée par la racine carrée de deux.

Le Nombre d'Or.

En procédant à la division de notre carré en deux parties, nous obtenons deux rectangles.

En procédant à une nouvelle division de notre rectangle en deux parties, nous obtenons deux demi-carrés.

La diagonale AC, conformément au théorème de Pythagore, met en évidence la racine carrée de 5.

AC = √AB² + BC² = √2² + 1²

Soit : (2² + 1²) = (4 + 1) = 5

√5 = 2,236

En procédant au partage du segment AB selon les proportions « extrême et moyenne raison », nous nous trouvons face à une progression de mesures:

(b + a) = u. (u + b) = c. (c + u) = d ... ∞

ainsi, si AB = 1. BC = ½ AC = $\frac{1√5}{2} soit : φ = \frac{1+√5}{2} ≈ 1,6180339887$

C'est Euclide qui caractérisait ainsi cette propriété. (le partage en extrême et moyenne raison).
Ainsi, la proportion, définie en géométrie comme le rapport unique a/b entre deux longueurs a et b, est telle que le rapport de la somme a + b des deux longueurs sur la plus grande (a) est équivalent à celui de la plus grande (a) sur la plus petite (b) ce qui s'écrit :

\frac{a + b}{a} = \frac{a}{b} =   φ

Il s'agit d'un nombre irrationnel et il constitue la seule solution positive de l'équation : φ² = φ + 1.

Ce qui peut être observé dans la suite de Fibonacci. Celle-ci est caractérisée par la somme des deux termes qui la précèdent ; de plus, le rapport entre chaque terme consécutif tend à converger vers le nombre d'or (φ). (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …)

F₀ = 0
F₁ = 1
F₂ = F ₁ + F ₀ = 1 + 0 = 1
F ₃ = F ₂ + F ₁ = 1 + 1 = 2
F ₄ = F ₃ + F ₂ = 2 + 1 = 3
F ₅ = F₄ + F ₃ = 3 + 2 = 5
...
Ainsi, le rapport de deux nombres de Fibonacci consécutifs converge vers le nombre d'or.

$\frac{\lim}{n→∞} = \frac{F n}{F n-1} = φ$

Introduction à la figure :

La construction s'appuie sur les éléments suivants :

Rectangle bicarré : nous débutons par un rectangle dont la longueur est le double de la largeur, établissant ainsi un ratio de 2:1.
Le cercle central est défini comme un cercle dont le centre est situé au point médian du segment vertical.
Pour le rayon, il convient de prendre la moitié de la largeur du rectangle.
La diagonale : une ligne est établie depuis un angle supérieur jusqu'à l'angle opposé, en traversant le centre du cercle.

Cette illustration offre une représentation géométrique de la valeur de Φ.

Dans le cas où le côté BC (la base) mesure 2 unités et le côté AB (la hauteur) mesure 1 unité, le rayon du cercle est établi à 0,5.
La longueur de la diagonale d'un rectangle complet, conformément au théorème de Pythagore, est équivalente à √1² + 2² = √5
La relation entre certains segments de cette figure, en particulier ceux intersectés par le cercle, détermine le Nombre d'Or, dont la valeur est : $\frac{1 + √5}{2} ≈ 1,618.$

Ainsi, c'est une conception géométrique suivant la proportion dorée, à partir d'un cercle dont le diamètre est équivalent à la longueur du segment AB : (AB = 1) (BC = 2)

Le triangle rectangle de coté AB mesure : AC² = 1² + 2² = 1 + 4 = 5.
Le rayon du cercle mesure donc ½ (DO ou DF = ½)
Donc, AD + DF = $\frac{√5}{2} plus \frac{1}{2}$
AF est donc égal à φ

AF = AD + DF. Soit : $\frac{√5}{2} + \frac{1}{2} = φ$

FC = DC - DF. Soit : $\frac{√5}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{φ}$

Ainsi, c'est une conception géométrique suivant la proportion dorée, à partir d'un cercle dont le diamètre est équivalent à la longueur du segment AB : (AB = 1) (BC = 2)

Le triangle rectangle de coté AB mesure : AC² = 1² + 2² = 1 + 4 = 5.
Le rayon du cercle mesure donc ½ (DO ou DF = ½)
Donc, AD + DF = $\frac{√5}{2} + \frac{1}{2}$
AF est donc égal à φ

AF = AD + DF. Soit : $\frac{√5}{2} + \frac{1}{2} = φ$

FC = DC - DF. Soit : $\frac{√5}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{φ}$

Ainsi, c'est une conception géométrique suivant la proportion dorée, à partir d'un cercle dont le diamètre est équivalent à la longueur du segment AB : (AB = 1) (BC = 2)

Le triangle rectangle de coté AB mesure : AC² = 1² + 2² = 1 + 4 = 5.
Le rayon du cercle mesure donc ½ (DO ou DF = ½)
Donc, AD + DF = $\frac{√5}{2} + \frac{1}{2}$

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